Задание 3. Дана функция у = √x - 2 - 3 а) С помощью базовой функции у = √х постройте график данной функции (10 баллов). б) Найдите область определения и область значений функции у = √x - 2 - 3 (10 баллов). в) Найдите промежутки возрастания и убывания данной функции (10 баллов).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Построение графика функции

1. Шаг 1: График базовой функции.

   Базовая функция \( y = \sqrt{x} \) имеет начало в точке (0,0), проходит через точки (1,1), (4,2), (9,3) и т.д. Область определения - \( [0, +∞) \), область значений - \( [0, +∞) \).

2. Шаг 2: Сдвиг графика.

   Функция \( y = \sqrt{x - 2} \) получается сдвигом графика \( y = \sqrt{x} \) на 2 единицы вправо. Начало графика смещается из (0,0) в (2,0). Область определения становится \( [2, +∞) \), область значений остается \( [0, +∞) \).

3. Шаг 3: Дальнейший сдвиг.

   Функция \( y = \sqrt{x - 2} - 3 \) получается сдвигом графика \( y = \sqrt{x - 2} \) на 3 единицы вниз. Начало графика смещается из (2,0) в (2, -3). Точки графика также смещаются вниз на 3 единицы.

   Примерные точки для построения: (2, -3), (3, -2), (6, -1), (11, 0).

б) Область определения и область значений

1. Шаг 1: Определение области определения.

   Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( x - 2 \geq 0 \). Отсюда следует, что \( x \geq 2 \). Таким образом, область определения D(y) = \( [2, +∞) \).

2. Шаг 2: Определение области значений.

   Минимальное значение квадратного корня \( \sqrt{x - 2} \) равно 0 (когда \( x=2 \)). Следовательно, минимальное значение функции \( y = \sqrt{x - 2} - 3 \) будет \( 0 - 3 = -3 \). Функция может принимать любые значения больше или равные -3. Таким образом, область значений E(y) = \( [-3, +∞) \).

в) Промежутки возрастания и убывания

1. Шаг 1: Анализ функции.

   Функция \( y = \sqrt{x} \) является возрастающей на всей своей области определения \( [0, +∞) \).

2. Шаг 2: Применение к данной функции.

   Функция \( y = \sqrt{x - 2} - 3 \) является результатом сдвига графика \( y = \sqrt{x} \). Сдвиги графика (вправо/влево или вверх/вниз) не меняют его характер монотонности (возрастания или убывания).

3. Шаг 3: Определение промежутка возрастания.

   Поскольку \( y = \sqrt{x} \) возрастает на \( [0, +∞) \), то и функция \( y = \sqrt{x - 2} - 3 \) будет возрастать на своей области определения \( [2, +∞) \).

   Функция нигде не убывает.

Ответ: а) График строится сдвигом графика \( y = \sqrt{x} \) на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. б) D(y) = [2, +∞), E(y) = [-3, +∞). в) Функция возрастает на промежутке [2, +∞). Убывания нет.