Задание 4. y = x³ + 3x² / x + 3 (25 баллов). а) Постройте график функции б) Определите промежутки возрастания, убывания функции, область определения, множество значений (10 баллов).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Построение графика функции

1. Шаг 1: Упрощение функции.

   Числитель \( x^3 + 3x^2 \) можно разложить на множители, вынеся \( x^2 \) за скобки: \( x^2(x+3) \).

   Теперь функция выглядит так: \( y = \frac{x^2(x+3)}{x+3} \).

   Заметим, что знаменатель \( x+3 \) не может быть равен нулю, то есть \( x
   eq -3 \). При \( x
   eq -3 \) мы можем сократить дробь.

   Упрощенная функция: \( y = x^2 \), но с ограничением \( x
   eq -3 \).

2. Шаг 2: Построение графика.

   График функции \( y = x^2 \) — это парабола с вершиной в точке (0,0), ветви направлены вверх. Она проходит через точки (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4) и т.д.

   Однако, в нашей исходной функции есть ограничение \( x
   eq -3 \). Это означает, что в точке \( x = -3 \) на графике \( y = x^2 \) будет «выколотая» точка.

   Найдем значение y для этой точки: \( y = (-3)^2 = 9 \). Таким образом, точка (-3, 9) не принадлежит графику данной функции.

б) Определение промежутков возрастания, убывания, области определения и множества значений

1. Шаг 1: Область определения.

   Как было установлено при упрощении, знаменатель \( x+3 \) не может быть равен нулю. Следовательно, \( x
   eq -3 \). Область определения: D(y) = \( (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) \).

2. Шаг 2: Промежутки возрастания и убывания.

   Рассмотрим функцию \( y = x^2 \). Она убывает на \( (-\infty; 0] \) и возрастает на \( [0; +\infty) \).

   Учитывая ограничение \( x
   eq -3 \), мы должны скорректировать эти промежутки:

   Функция убывает на промежутке \( (-\infty; -3) \) и на промежутке \( (-3; 0] \).

   Функция возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \).

3. Шаг 3: Множество значений.

   График функции \( y = x^2 \) имеет область значений \( [0; +\infty) \). Но мы должны исключить значение y, соответствующее «выколотой» точке (-3, 9).

   Таким образом, множество значений функции: E(y) = \( [0; 9) \cup (9; +\infty) \).

Ответ: а) График — парабола \( y = x^2 \) с выколотой точкой в (-3, 9). б) Промежутки возрастания: [0, +∞). Промежутки убывания: (-∞, -3) и (-3, 0]. Область определения: D(y) = (-∞, -3) ∪ (-3, +∞). Множество значений: E(y) = [0, 9) ∪ (9, +∞).