Задание 3*. Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Проведём диагональ AC.

1. В треугольниках ABC и CDA: \(AB=CD\), \(BC=DA\), а AC — общая сторона.
2. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников получаем равенство накрест лежащих углов: \(\angle BAC=\angle ACD\) и \(\angle BCA=\angle CAD\). Поэтому \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.