Задание №3. Докажите, что середины сторон любого прямоугольника являются вершинами ромба.

Пусть ABCD — прямоугольник, а M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

1. В треугольнике ABC точки M и N — середины двух сторон, поэтому по теореме о средней линии \(MN=\frac12 AC\).
2. Аналогично в треугольниках BCD, CDA и DAB: \(NP=\frac12 BD\), \(PQ=\frac12 AC\), \(QM=\frac12 BD\).
3. Диагонали прямоугольника равны: \(AC=BD\). Следовательно, \(MN=NP=PQ=QM\).

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Значит, середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.