Задание 3*. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD и проведём диагональ AC.

Так как \(AB \parallel CD\), то \(\angle BAC = \angle DCA\) как накрест лежащие углы. Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle BCA = \angle DAC\) как накрест лежащие углы. Сторона AC является общей для треугольников ABC и CDA.

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих сторон:

\(AB = CD\), \(BC = AD\).

Также из равенства соответствующих углов следует:

\(\angle ABC = \angle CDA\), \(\angle BAD = \angle BCD\).

Таким образом, в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.