Задание 3*. Докажите теорему Фалеса.

Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие одну сторону угла, отсекают на ней равные отрезки, то на другой стороне угла они отсекают равные отрезки.

Доказательство. Пусть параллельные прямые пересекают стороны угла с вершиной O в точках A и B на одной стороне и C и D на другой, причём AC ∥ BD. Предположим, что AB = BC. Проведём через B прямую, параллельную OC, и обозначим её пересечение с BD точкой E.

1. Четырёхугольник ACBE — параллелограмм: AC ∥ BE и AB ∥ CE. Поэтому AC = BE.
2. Треугольники OBE и OCD подобны, поскольку BE ∥ CD. Из подобия следует, что OB/OC = BE/CD.
3. Так как AB = BC, имеем OB = 2AB и OC = 2AC. А из пункта 1 BE = AC. Поэтому OB/OC = 2AB/2AC = AB/AC = BE/AC, откуда по пропорции CD = AC.
4. В параллелограмме ACBE CE = AB. Поскольку OC = CE + EO, а OD = OB + BD, получаем равные соответствующие отрезки на второй стороне; в частности, CE = ED, то есть отрезки, отсекаемые параллельными прямыми, равны.

Следовательно, равные отрезки на одной стороне угла соответствуют равным отрезкам на другой стороне. Теорема доказана.