Задание 3*. Известно, что одна конфета стоит десять рублей. Миша и ещё семь его друзей купили себе конфеты и после покупки у каждого осталось разное количество рублей (не равное нулю), но ни у кого не хватало на ещё одну конфету. Тогда друзья решили сложить все оставшиеся деньги, и их хватило в точности ещё на несколько конфет. Сколько денег оставалось у каждого друга до складывания?

Решение:

Всего друзей 1 + 7 = 8 человек.

Пусть \( k_1, k_2, ..., k_8 \) — количество конфет, купленных каждым другом, а \( r_1, r_2, ..., r_8 \) — количество оставшихся рублей у каждого друга.

Стоимость одной конфеты — 10 рублей.

После покупки у каждого осталось разное количество рублей, не равное нулю. Это значит, что \( r_i \) могут быть от 1 до 9 рублей (так как на ещё одну конфету не хватало).

Таким образом, у каждого друга осталось различное количество рублей из множества \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).

Общая сумма оставшихся рублей равна сумме денег, которую они потратили на дополнительные конфеты. Предположим, они купили \( n \) дополнительных конфет.

Тогда общая сумма оставшихся рублей равна \( 10 · n \).

Так как у каждого осталось разное количество рублей (от 1 до 9), то минимальная сумма, которую они могли иметь, — это сумма наименьших 8 различных остатков: \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 \) рублей.

Максимальная сумма, которую они могли иметь, — это сумма наибольших 8 различных остатков: \( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 \) рублей.

Следовательно, общая сумма оставшихся рублей лежит в диапазоне от 36 до 44 рублей.

Эта сумма должна делиться на 10 (стоимость одной конфеты), чтобы хватило ровно на \( n \) конфет.

Единственное число в диапазоне \( [36, 44] \), которое делится на 10, — это 40.

Значит, общая сумма оставшихся рублей равна 40 рублей. И друзья смогли купить \( n = \frac{40}{10} = 4 \) дополнительные конфеты.

Теперь нам нужно найти 8 различных чисел из множества \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), сумма которых равна 40.

Мы знаем, что сумма всех чисел от 1 до 9 равна \( \frac{9 · 10}{2} = 45 \). Если мы уберём одно число, сумма будет меньше 45. Мы хотим получить сумму 40, значит, убранное число должно быть \( 45 - 40 = 5 \).

Следовательно, оставшиеся 8 чисел — это \( \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} \).

Ответ: У каждого друга оставалось разное количество рублей из набора {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} рублей.