Задание 3. Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 8 участников, то 7 конфет останется. А если поровну раздавать на 21 участника, то 4 конфеты останется. Верны ли утверждения? 1) Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 3 участникам. 2) Если убрать из мешка 6 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 5 участникам. 3) Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 7 участникам. 4) Если добавить в мешок 17 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 24 участникам. 5) Найдётся такое количество конфет от 25 до 45, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 56 участникам. Для каждого утверждения выберите: «Верно при любом таком количестве конфет», «Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)» или «Неверно при любом таком количестве конфет».

Обозначим число конфет через \(N\). Из условий \(N\equiv7\pmod 8\) и \(N\equiv4\pmod{21}\). Решение этих сравнений: \(N\equiv151\pmod{168}\), то есть \(N=151+168k\).

1) При делении на 3 остаток зависит от \(k\): \(151+168k\equiv1\pmod3\). Значит, конфеты не делятся на 3 без остатка при любом допустимом количестве. Неверно при любом таком количестве.

2) \(N-6\equiv0\pmod5\) зависит от \(k\), поскольку \(168\equiv3\pmod5\). Например, при \(k=3\) делимость выполняется, а при \(k=0\) — нет. Может быть как верным, так и неверным.

3) Так как \(N+10\equiv7+2\not\equiv0\pmod7\), а изменение \(N\) на 168 не меняет остаток при делении на 7, утверждение неверно при любом таком количестве.

4) \(N+17\equiv151+17=168\equiv0\pmod{24}\), и 168 делится на 24. Утверждение верно при любом таком количестве.

5) Возможные количества конфет, которые можно забрать, лежат от 25 до 45. Чтобы остаток делился на 56, нужно, чтобы забираемое число было сравнимо с \(N\) по модулю 56. Но \(N=151+168k\equiv39\pmod{56}\), а 39 находится в указанном диапазоне. Такое количество найдётся при любом допустимом \(N\). Верно при любом таком количестве.

Ответ: 1 — неверно при любом; 2 — может быть как верным, так и неверным; 3 — неверно при любом; 4 — верно при любом; 5 — верно при любом.