Задание 3*. Маша и Алиса играют в игру. Суть игры заключается в том, чтобы записать 12-значное число, при этом использовать можно только цифры 1; 2; 3; 4; 5. Первую цифру числа записывает Маша, а вторую Алиса. Алиса выигрывает в том случае, если полученное число будет без остатка делиться на девять Может ли Маша помешать Алисе победить в игре?

Задание 3*

Чтобы число делилось на 9 без остатка, сумма его цифр должна делиться на 9. В игре используются цифры 1, 2, 3, 4, 5. Маша записывает первую цифру, Алиса — вторую. Остальные 10 цифр могут быть любыми из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Анализ:

1. 
   

   Ход Маши: Маша записывает первую цифру. Она может выбрать любую из 1, 2, 3, 4, 5.

   
   


2. 
   

   Ход Алисы: Алиса записывает вторую цифру. Она также может выбрать любую из 1, 2, 3, 4, 5.

   
   


3. 
   

   Условие победы Алисы: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Число 12-значное.

   
   

Может ли Маша помешать Алисе?

Маша, записывая первую цифру, не может гарантировать, что сумма всех 12 цифр не будет делиться на 9. Например, если Маша напишет 1, а Алиса 1, то первые две цифры дадут в сумме 2. Остальные 10 цифр могут быть любыми. Сумма 10 цифр, каждая из которых минимум 1, будет минимум 10. Максимум — 10 * 5 = 50. То есть, сумма первых двух цифр (2) плюс сумма остальных 10 цифр (от 10 до 50) будет в диапазоне от 12 до 52. В этом диапазоне есть числа, кратные 9 (18, 27, 36, 45, 54). Алиса, зная, какую цифру написала Маша, и имея возможность выбирать любую из 5 цифр для второй позиции, также не может гарантировать, что сумма всех цифр не поделится на 9. Даже если Маша напишет 5, а Алиса 5 (сумма 10), то оставшиеся 10 цифр могут дать сумму 8 (например, 8 единиц и 2 двойки, если бы это было возможно) или 17, 26, 35, 44, 53. Маша не имеет контроля над оставшимися 10 цифрами, которые могут быть подобраны так, чтобы сумма делилась на 9. И наоборот, Алиса, выбирая вторую цифру, также не может помешать тому, чтобы сумма цифр числа стала кратной 9, если остальные цифры могут быть подобраны нужным образом.

Вывод: Маша не может помешать Алисе победить. Сумму цифр можно всегда подобрать так, чтобы она делилась на 9, поскольку набор допустимых цифр {1, 2, 3, 4, 5} позволяет получить любую сумму цифр в некотором диапазоне, который включает в себя числа, кратные 9.

Ответ: Нет, Маша не может помешать Алисе победить.