Задание №3. На координатной плоскости нарисовали параллелограмм ABCD. Координаты его вершин: A(0; 0), B(1; 2), C(4; 2), D(3; 0). Вне параллелограмма взяли точку M. Найдите \(AM^2+CM^2-BM^2-DM^2\).

Обозначим координаты точки \(M\) через \((x;y)\). По формуле квадрата расстояния:

\(AM^2=x^2+y^2\), \(CM^2=(x-4)^2+(y-2)^2\), \(BM^2=(x-1)^2+(y-2)^2\), \(DM^2=(x-3)^2+y^2\).

Подставим выражения и раскроем скобки:

\(AM^2+CM^2-BM^2-DM^2\)

\(=x^2+y^2+(x-4)^2+(y-2)^2-(x-1)^2-(y-2)^2-(x-3)^2-y^2\)

\(=x^2+(x-4)^2-(x-1)^2-(x-3)^2=6\).

Все слагаемые с координатами \(M\) сокращаются, поэтому результат не зависит от положения точки.

Ответ: 6.