Задание 3. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события.

Задание 3: Вычисление вероятностей

Используя диаграмму Эйлера с указанными вероятностями, найдем вероятности событий A, B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B̄, Ā ∩ B, Ā ∪ B, A ∪ B̄, Ā ∪ B, Ā ∩ B.

Данные из диаграммы:

• P(A ∩ B) = 0.1
• P(A ∩ B̄) = 0.3
• P(Ā ∩ B) = 0.2
• P(Ā ∩ B̄) = 0.4

1. Найдите вероятность события А.

Событие A состоит из двух непересекающихся областей: A ∩ B и A ∩ B̄. Поэтому вероятность события A равна сумме вероятностей этих областей.

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) = 0.1 + 0.3 = 0.4

2. Найдите вероятность события В.

Событие B состоит из двух непересекающихся областей: A ∩ B и Ā ∩ B. Поэтому вероятность события B равна сумме вероятностей этих областей.

P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = 0.1 + 0.2 = 0.3

3. Найдите вероятность события А ∩ В.

Эта вероятность указана непосредственно на диаграмме.

P(A ∩ B) = 0.1

4. Найдите вероятность события A ∪ B.

Вероятность объединения событий A и B равна сумме вероятностей всех областей, входящих в A или B.

P(A ∪ B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B) = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6

Или по формуле: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6

5. Найдите вероятность события A ∩ B̄.

Эта вероятность указана непосредственно на диаграмме.

P(A ∩ B̄) = 0.3

6. Найдите вероятность события Ā ∩ B.

Эта вероятность указана непосредственно на диаграмме.

P(Ā ∩ B) = 0.2

7. Найдите вероятность события A ∪ B̄.

Событие B̄ (не B) включает области A ∩ B̄ и Ā ∩ B̄. Событие A включает области A ∩ B и A ∩ B̄. Объединение A ∪ B̄ включает области A ∩ B, A ∩ B̄ и Ā ∩ B̄.

P(A ∪ B̄) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B̄) = 0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8

Или по формуле: P(A ∪ B̄) = P(A) + P(B̄) - P(A ∩ B̄). Сначала найдем P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7. P(A ∪ B̄) = 0.4 + 0.7 - 0.3 = 0.8

8. Найдите вероятность события Ā ∪ B.

Событие Ā (не A) включает области Ā ∩ B и Ā ∩ B̄. Событие B включает области A ∩ B и Ā ∩ B. Объединение Ā ∪ B включает области A ∩ B, Ā ∩ B и Ā ∩ B̄.

P(Ā ∪ B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) + P(Ā ∩ B̄) = 0.1 + 0.2 + 0.4 = 0.7

Или по формуле: P(Ā ∪ B) = P(Ā) + P(B) - P(Ā ∩ B). Сначала найдем P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6. P(Ā ∪ B) = 0.6 + 0.3 - 0.2 = 0.7

9. Найдите вероятность события Ā ∪ B̄.

Событие Ā ∪ B̄ — это объединение всех областей, кроме A ∩ B.

P(Ā ∪ B̄) = P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B) + P(Ā ∩ B̄) = 0.3 + 0.2 + 0.4 = 0.9

Или по формуле: P(Ā ∪ B̄) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0.1 = 0.9

10. Найдите вероятность события Ā ∩ B̄.

Эта вероятность указана непосредственно на диаграмме.

P(Ā ∩ B̄) = 0.4

Ответ:

• 1. P(A) = 0.4
• 2. P(B) = 0.3
• 3. P(A ∩ B) = 0.1
• 4. P(A ∪ B) = 0.6
• 5. P(A ∩ B̄) = 0.3
• 6. P(Ā ∩ B) = 0.2
• 7. P(A ∪ B̄) = 0.8
• 8. P(Ā ∪ B) = 0.7
• 9. P(Ā ∪ B̄) = 0.9
• 10. P(Ā ∩ B̄) = 0.4