Задание 4 (текст аналогичен заданию 3)

Задание 4: Вычисление вероятностей

Используя диаграмму Эйлера с указанными вероятностями, найдем вероятности событий A, B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B̄, Ā ∩ B, Ā ∪ B, A ∪ B̄, Ā ∪ B, Ā ∩ B.

Данные из диаграммы:

• P(A ∩ B) = 0.1
• P(A ∩ B̄) = 0.2
• P(Ā ∩ B) = 0.05
• P(Ā ∩ B̄) = 0.05 + 0.1 + 0.1 = 0.25

1. Найдите вероятность события А.

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) = 0.1 + 0.2 = 0.3

2. Найдите вероятность события В.

P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = 0.1 + 0.05 = 0.15

3. Найдите вероятность события А ∩ В.

P(A ∩ B) = 0.1

4. Найдите вероятность события A ∪ B.

P(A ∪ B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B) = 0.1 + 0.2 + 0.05 = 0.35

Или по формуле: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.3 + 0.15 - 0.1 = 0.35

5. Найдите вероятность события A ∩ B̄.

P(A ∩ B̄) = 0.2

6. Найдите вероятность события Ā ∩ B.

P(Ā ∩ B) = 0.05

7. Найдите вероятность события A ∪ B̄.

P(A ∪ B̄) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B̄) = 0.1 + 0.2 + 0.25 = 0.55

Или по формуле: P(A ∪ B̄) = P(A) + P(B̄) - P(A ∩ B̄). P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 0.15 = 0.85. P(A ∪ B̄) = 0.3 + 0.85 - 0.2 = 0.95. Ошибка в сумме вероятностей. Пересчитаем P(Ā ∩ B̄) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.35 = 0.65.

Пересчет с P(Ā ∩ B̄) = 0.65:

P(A ∪ B̄) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B̄) = 0.1 + 0.2 + 0.65 = 0.95

Или по формуле: P(A ∪ B̄) = P(A) + P(B̄) - P(A ∩ B̄). P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 0.15 = 0.85. P(A ∪ B̄) = 0.3 + 0.85 - 0.2 = 0.95

8. Найдите вероятность события Ā ∪ B.

P(Ā ∪ B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) + P(Ā ∩ B̄) = 0.1 + 0.05 + 0.65 = 0.8

Или по формуле: P(Ā ∪ B) = P(Ā) + P(B) - P(Ā ∩ B). P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7. P(Ā ∪ B) = 0.7 + 0.15 - 0.05 = 0.8

9. Найдите вероятность события Ā ∪ B̄.

P(Ā ∪ B̄) = P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B) + P(Ā ∩ B̄) = 0.2 + 0.05 + 0.65 = 0.9

Или по формуле: P(Ā ∪ B̄) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0.1 = 0.9

10. Найдите вероятность события Ā ∩ B̄.

P(Ā ∩ B̄) = 0.65

Ответ:

• 1. P(A) = 0.3
• 2. P(B) = 0.15
• 3. P(A ∩ B) = 0.1
• 4. P(A ∪ B) = 0.35
• 5. P(A ∩ B̄) = 0.2
• 6. P(Ā ∩ B) = 0.05
• 7. P(A ∪ B̄) = 0.95
• 8. P(Ā ∪ B) = 0.8
• 9. P(Ā ∪ B̄) = 0.9
• 10. P(Ā ∩ B̄) = 0.65