Задание 3. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка P так, что BP : PC = 1 : 4. Найдите, в каком отношении делит отрезок AP медиану BM.

Пусть M — середина AC, а Q — точка пересечения AP и BM. Возьмём координаты B=(0,0), C=(5,0), тогда P=(1,0). Пусть A=(u,v), где v≠0. Тогда M=((u+5)/2,v/2).

Точка Q на AP имеет вид Q=A+t(P−A), а на BM — Q=sM. Из координат y получаем t=1−s/2; из координат x после подстановки получаем t=2s. Значит, 2s=1−s/2, откуда s=2/5 и t=4/5.

На отрезке AP параметр t=4/5 означает AQ:QP=4:1. На BM параметр s=2/5 означает BQ:QM=2:3.

Ответ: медиана BM делит AP в отношении 4 : 1; точка пересечения делит BM в отношении 2 : 3, считая от B.