Задание №3. Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 11, BC = 18, ∠ABM = 72° и ∠CBM = 36°.

Угол при вершине B равен сумме углов ABM и CBM: \(\angle ABC=72°+36°=108°\). По рисунку M — середина AC, поэтому BM — медиана.

Сначала найдём AC по теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos108°=11^2+18^2-2\cdot11\cdot18\cos108°.\)

Для медианы к стороне AC используем формулу \(BM^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\). Подставим найденное выражение:

\(BM^2=\dfrac{2\cdot11^2+2\cdot18^2-(11^2+18^2-2\cdot11\cdot18\cos108°)}{4}=\dfrac{445+396\cos108°}{4}.\)

Так как \(\cos108°=\dfrac{1-\sqrt5}{4}\), получаем

\(BM=\dfrac{1}{2}\sqrt{544-99\sqrt5}\approx9.03.\)

Ответ: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{544-99\sqrt5}\), приблизительно 9.03.