Задание № 3. Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 13, BC = 20, ∠ABM = 69° и ∠CBM = 42°.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = CM. Обозначим BM через \(x\).

По теореме косинусов для треугольников ABM и CBM:

\(AM^2=13^2+x^2-2\cdot13x\cos69^\circ.\)

\(CM^2=20^2+x^2-2\cdot20x\cos42^\circ.\)

Приравняем выражения, так как AM = CM, и сократим \(x^2\):

\(169-26x\cos69^\circ=400-40x\cos42^\circ,\)

\(x=\dfrac{231}{40\cos42^\circ-26\cos69^\circ}\approx11.32.\)

Ответ: \(BM\approx11.32\).