Задание 3*. Найдите наименьшее значение выражения: \(\frac{a^2-9}{2}\cdot\left(\frac{a+3}{a-3}+\frac{a-3}{a+3}\right)\).

Область допустимых значений: \(a\ne3\) и \(a\ne-3\).

Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{a+3}{a-3}+\frac{a-3}{a+3}=\frac{(a+3)^2+(a-3)^2}{a^2-9}=\frac{2a^2+18}{a^2-9}=\frac{2(a^2+9)}{a^2-9}\).

Подставим и сократим:

\(\frac{a^2-9}{2}\cdot\frac{2(a^2+9)}{a^2-9}=a^2+9\).

Поскольку \(a^2\ge0\), выражение не меньше 9. Равенство достигается при \(a=0\), которое входит в область допустимых значений.

Ответ: наименьшее значение равно 9.