Задание 3. Найти производную функции: a) \(4x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^2 + 3x^2 - 8\) б) \((\frac{x}{5} - 10)^3\) в) \(\sqrt[3]{(6x+2)^2}\)

Решение:

а) \(f(x) = 4x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^2 + 3x^2 - 8\)

Сначала упростим функцию: \( f(x) = 4x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{13}{4}x^2 - 8 \)

Теперь найдём производную, используя правила дифференцирования:

\( f'(x) = (4x^4)' + (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{13}{4}x^2)' - (8)' \)

\( f'(x) = 4 \cdot 4x^{4-1} + \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{13}{4} \cdot 2x^{2-1} - 0 \)

\( f'(x) = 16x^3 + x^2 + \frac{13}{2}x \)

б) \(f(x) = (\frac{x}{5} - 10)^3\)

Используем правило дифференцирования сложной функции \( (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \), где \( u = \frac{x}{5} - 10 \).

\( u' = (\frac{x}{5} - 10)' = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5} \)

\( f'(x) = 3 \cdot (\frac{x}{5} - 10)^{3-1} \cdot \frac{1}{5} \)

\( f'(x) = \frac{3}{5} (\frac{x}{5} - 10)^2 \)

в) \(f(x) = \sqrt[3]{(6x+2)^2} = (6x+2)^{2/3}\)

Используем правило дифференцирования сложной функции \( (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \), где \( u = 6x+2 \) и \( n = \frac{2}{3} \).

\( u' = (6x+2)' = 6 \)

\( f'(x) = \frac{2}{3} (6x+2)^{\frac{2}{3}-1} \cdot 6 \)

\( f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 6 (6x+2)^{-\frac{1}{3}} \)

\( f'(x) = 4 (6x+2)^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{\sqrt[3]{6x+2}} \)

Ответ: а) \(16x^3 + x^2 + \frac{13}{2}x\); б) \(\frac{3}{5}(\frac{x}{5} - 10)^2\); в) \(\frac{4}{\sqrt[3]{6x+2}}\).