Задание 5. Найти все первообразные функции: a) \(3x^2 - 5x + 2\) б) \(\frac{2}{x^2}\) в) \(6\sin x + 2\cos x\) г) \(x^4 + 4e^x + 10\sin x\)

Решение:

Чтобы найти первообразную функцию \( F(x) \) для заданной функции \( f(x) \), нужно проинтегрировать \( f(x) \) и добавить константу интегрирования \( C \).

а) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)

\( F(x) = \int (3x^2 - 5x + 2) dx \)

\( F(x) = 3 \int x^2 dx - 5 \int x dx + 2 \int dx \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C \)

\( F(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \)

б) \(f(x) = \frac{2}{x^2} = 2x^{-2}\)

\( F(x) = \int 2x^{-2} dx \)

\( F(x) = 2 \int x^{-2} dx \)

\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \)

\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C \)

\( F(x) = -2x^{-1} + C = -\frac{2}{x} + C \)

в) \(f(x) = 6\sin x + 2\cos x\)

\( F(x) = \int (6\sin x + 2\cos x) dx \)

\( F(x) = 6 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx \)

\( F(x) = 6(-\cos x) + 2(\sin x) + C \)

\( F(x) = -6\cos x + 2\sin x + C \)

г) \(f(x) = x^4 + 4e^x + 10\sin x\)

\( F(x) = \int (x^4 + 4e^x + 10\sin x) dx \)

\( F(x) = \int x^4 dx + 4 \int e^x dx + 10 \int \sin x dx \)

\( F(x) = \frac{x^5}{5} + 4e^x + 10(-\cos x) + C \)

\( F(x) = \frac{x^5}{5} + 4e^x - 10\cos x + C \)

Ответ: а) \(x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C\); б) \(-\frac{2}{x} + C\); в) \(-6\cos x + 2\sin x + C\); г) \(\frac{x^5}{5} + 4e^x - 10\cos x + C\).