Задание 4. Решить логарифмические уравнения: a) \(\log_3 (2x+10) = 3\) б) \(\log_2 (x^2 + 3x - 10) = 3\) в) \(\log_a (5-x) - \log_a (x+3) = 0\) r) \((\log_{10} x)^2 - 3\log_{10} x - 4 = 0\)

Решение:

а) \(\log_3 (2x+10) = 3\)

1. По определению логарифма: \( 2x+10 = 3^3 \)
2. \( 2x+10 = 27 \)
3. \( 2x = 27 - 10 \)
4. \( 2x = 17 \)
5. \( x = \frac{17}{2} = 8.5 \)
6. Проверка: \( 2x+10 = 2(8.5)+10 = 17+10 = 27 > 0 \). Верно.

б) \(\log_2 (x^2 + 3x - 10) = 3\)

1. По определению логарифма: \( x^2 + 3x - 10 = 2^3 \)
2. \( x^2 + 3x - 10 = 8 \)
3. \( x^2 + 3x - 10 - 8 = 0 \)
4. \( x^2 + 3x - 18 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \).
6. \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
7. \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3-9}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
8. Проверка:
9. Для \( x=3 \): \( x^2 + 3x - 10 = 3^2 + 3(3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0 \). Верно.
10. Для \( x=-6 \): \( x^2 + 3x - 10 = (-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0 \). Верно.

в) \(\log_a (5-x) - \log_a (x+3) = 0\)

1. ОДЗ: \( 5-x > 0 \) и \( x+3 > 0 \). Отсюда \( x < 5 \) и \( x > -3 \). То есть \( -3 < x < 5 \).
2. Перенесём второе слагаемое вправо: \( \log_a (5-x) = \log_a (x+3) \)
3. Приравняем аргументы логарифмов: \( 5-x = x+3 \)
4. \( 5 - 3 = x + x \)
5. \( 2 = 2x \)
6. \( x = 1 \)
7. Проверим, входит ли \( x=1 \) в ОДЗ: \( -3 < 1 < 5 \). Верно.

г) \((\log_{10} x)^2 - 3\log_{10} x - 4 = 0\)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_{10} x \).
2. Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 3y - 4 = 0 \)
3. Решим его. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
4. \( y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} = 4 \)
5. \( y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} = -1 \)
6. Теперь вернёмся к замене:
7. 1) \( \log_{10} x = 4 \) \(\implies\) \( x = 10^4 = 10000 \)
8. 2) \( \log_{10} x = -1 \) \(\implies\) \( x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1 \)
9. Проверка: ОДЗ для логарифма \( x > 0 \). Оба корня \( 10000 \) и \( 0.1 \) положительные.

Ответ: а) \(8.5\); б) \(3, -6\); в) \(1\); г) \(10000, 0.1\).