Задание 3. Отметьте точку O и начертите окружность произвольного радиуса R с центром в точке F, отличной от точки O. Постройте окружность, в которую переходит данная окружность при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k, если: а) k = −1; б) k = 2; в) k = 3.

Пусть исходная окружность имеет центр F и радиус R, причём F≠O. При гомотетии центр окружности переходит в F₁, где \(\overrightarrow{OF_1}=k\overrightarrow{OF}\), а радиус образа равен \(|k|R\). Поэтому при отрицательном коэффициенте центр образа находится на противоположном луче, а радиус всё равно положителен.

а) При k=−1: F₁ лежит на продолжении OF за O, OF₁=OF; радиус образа R.

б) При k=2: F₁ лежит на луче OF, OF₁=2OF; радиус образа 2R.

в) При k=3: F₁ лежит на луче OF, OF₁=3OF; радиус образа 3R.

На схеме окружности показаны схематически: исходная окружность с центром F и её три образа. В случае k=−1 образ расположен по другую сторону от O; в случаях k=2 и k=3 — на луче OF.

Ответ: центры образов задаются равенством \(\overrightarrow{OF_1}=k\overrightarrow{OF}\), радиусы соответственно равны R, 2R и 3R для k=−1, 2 и 3.