Задание 3. Построить вектор \(\overrightarrow{AB}\) в трёхмерной декартовой системе координат, если координаты точек A(5; 4; 4), B(2; 5; 1). Найти (рассчитать): а) координаты \(\overrightarrow{AB}\); б) длину \(\overrightarrow{AB}\); в) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\), если \(\overrightarrow{CD}=(3; 2; 4)\); г) координаты вектора \(3\overrightarrow{AB}\).

Координаты вектора равны разности координат конца и начала:

\(\overrightarrow{AB}=(2-5;5-4;1-4)=(-3;1;-3)\).

Длина вектора:

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{19}\).

Складываем соответствующие координаты:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(-3;1;-3)+(3;2;4)=(0;3;1)\).

Умножаем каждую координату на 3:

\(3\overrightarrow{AB}=3(-3;1;-3)=(-9;3;-9)\).

Схематическое изображение в трёхмерной системе: оси показаны в условной проекции, отрезок со стрелкой обозначает вектор \(\overrightarrow{AB}\).

Ответ: а) \((-3;1;-3)\); б) \(\sqrt{19}\); в) \((0;3;1)\); г) \((-9;3;-9)\).