Задание 3. Представьте степень в виде произведения каких-нибудь степеней с одинаковыми основаниями. Сколькими способами это возможно сделать? а) 5¹²; б) (−7)¹⁵; в) (−4m)⁷; г) 4⁸.

Показатель степени можно разложить на сумму положительных целых показателей: \(A^n=A^k\cdot A^{n-k}\). Если перестановку множителей не считать новым способом, получаем разложения на пары, где первый показатель не больше второго.

1. \(5^{12}=5^1\cdot5^{11}=5^2\cdot5^{10}=5^3\cdot5^9=5^4\cdot5^8=5^5\cdot5^7=5^6\cdot5^6\). 6 способов.
2. \((-7)^{15}=(-7)^1\cdot(-7)^{14}=(-7)^2\cdot(-7)^{13}=(-7)^3\cdot(-7)^{12}=(-7)^4\cdot(-7)^{11}=(-7)^5\cdot(-7)^{10}=(-7)^6\cdot(-7)^9= (-7)^7\cdot(-7)^8\). 7 способов.
3. \((-4m)^7=(-4m)^1\cdot(-4m)^6=(-4m)^2\cdot(-4m)^5=(-4m)^3\cdot(-4m)^4\). 3 способа.
4. \(4^8=4^1\cdot4^7=4^2\cdot4^6=4^3\cdot4^5=4^4\cdot4^4\). 4 способа.

Если считать перестановку множителей отдельным способом, для показателя \(n\) будет \(n-1\) способов: соответственно 11, 14, 6 и 7.