Задание 3. При каких натуральных значениях переменной дробь принимает целые значения? 1) 7/(2a + 1); 2) 5/(2a − 1); 3) (3x + 9)/(3x); 4) (7x + 14)/(7x); 5) 4/(3y − 2); 6) 5/(3y − 1); 7) (2x − 3)/(x + 1); 8) (2x + 5)/(x − 1).

Считаем натуральными положительные целые числа. Используем, что дробь с целым числителем и знаменателем является целым числом, если знаменатель делит числитель.

1. Знаменатель \(2a+1\) должен быть положительным делителем 7. С учётом \(a\ge1\), подходит только \(2a+1=7\), откуда \(a=3\).

2. Знаменатель \(2a-1\) должен быть делителем 5: \(2a-1=1\) или \(5\). Поэтому \(a=1\) или \(a=3\).

3. \(\frac{3x+9}{3x}=1+\frac{3}{x}\). Нужно, чтобы \(x\) делил 3. Следовательно, \(x=1,3\).

4. \(\frac{7x+14}{7x}=1+\frac{2}{x}\). Нужно, чтобы \(x\) делил 2. Следовательно, \(x=1,2\).

5. Знаменатель \(3y-2\) — положительный делитель 4. Подходящие значения знаменателя: 1 и 4; получаем \(y=1,2\).

6. Знаменатель \(3y-1\) должен делить 5. Из делителей 1 и 5 выражению \(3y-1\) соответствует 5, откуда \(y=2\).

7. \(\frac{2x-3}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}\). При \(x\ge1\) число \(x+1\ge2\), поэтому оно должно равняться 5. Получаем \(x=4\).

8. \(\frac{2x+5}{x-1}=2+\frac{7}{x-1}\), причём \(x\ne1\). Для натуральных \(x\) знаменатель положителен при \(x\ge2\) и должен делить 7: \(x-1=1\) или \(7\). Поэтому \(x=2,8\).

Ответ: 1) \(a=3\); 2) \(a=1,3\); 3) \(x=1,3\); 4) \(x=1,2\); 5) \(y=1,2\); 6) \(y=2\); 7) \(x=4\); 8) \(x=2,8\).