Задание 3. Решите графически уравнение \(x^{3/2}=x+2\). Указание: постройте схематично графики левой и правой частей в одной системе координат и найдите абсциссу точки их пересечения.

График левой части \(y=x^{3/2}\) определён при \(x\ge 0\); график правой части — прямая \(y=x+2\). Решение уравнения — абсцисса точки пересечения этих графиков.

Для оценки пересечения положим \(t=\sqrt{x}\), где \(t\ge0\). Тогда \(t^3=t^2+2\), то есть \(t^3-t^2-2=0\). Левая часть сначала убывает до \(t=2/3\), оставаясь отрицательной, а затем строго возрастает; значит, положительный корень один. Численно \(t\approx1.6956\), поэтому \(x=t^2\approx2.875\).

Следовательно, графики пересекаются примерно в точке \((2.875;4.875)\), и решение уравнения: \(x\approx2.875\).

Ответ: \(x\approx2.875\).