Задание 3. Решите неравенства: а) −x² + 16x > 28; б) (3x − 1)(x² − 9) ≤ 0; в) (4x² + 4x + 1)/(−3 + x² + 2x) ≥ 0.

а) Перенесём всё в левую часть и умножим неравенство на \(-1\), изменив знак:

\[-x^2+16x-28>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-16x+28<0\]

Найдём корни: \(x_1=2\), \(x_2=14\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, выражение отрицательно между корнями:

Ответ: \(x\in(2;14)\).

б) Разложим на множители:

\[(3x-1)(x^2-9)=(3x-1)(x-3)(x+3)\]

Критические точки: \(-3\), \(\frac13\), \(3\). Методом интервалов получаем:

\[x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac13;3\right]\]

Ответ: \(x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac13;3\right]\).

в) Представим числитель и знаменатель в виде произведения:

\[\frac{4x^2+4x+1}{x^2+2x-3}=\frac{(2x+1)^2}{(x+3)(x-1)}\ge0\]

Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому \(x\ne-3\) и \(x\ne1\). Числитель неотрицателен и равен нулю при \(x=-\frac12\). Знак дроби неотрицателен на интервалах \((-;-3)\) и \((1;+)\), а также в точке \(-\frac12\):

Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup\left\{-\frac12\right\}\cup(1;+)\).