Задание 3. Решите неравенства: а) −x² + 16x > 28; б) (3x − 1)(x² − 9) ≤ 0; в) (4x² + 4x + 1)/(x² + 2x − 3) ≥ 0.

а)

\(-x^2+16x>28\), поэтому \(x^2-16x+28<0\).

Найдём корни: \(D=16^2-4\cdot28=144\), \(x_1=2\), \(x_2=14\).

Парабола направлена вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями:

Ответ: \(x\in(2;14)\).

б)

Разложим на множители: \((3x-1)(x-3)(x+3)\le0\).

Критические точки: \(-3\), \(\frac13\), \(3\). Знаки на промежутках дают решение:

Ответ: \(x\in(-\infty;-3]\cup[\frac13;3]\).

в)

Числитель: \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\). Знаменатель: \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\).

Ограничения: \(x\ne1\), \(x\ne-3\). Получаем \(\frac{(2x+1)^2}{(x-1)(x+3)}\ge0\).

Числитель неотрицателен и равен нулю при \(x=-\frac12\). Знаменатель положителен вне промежутка \([-3;1]\) и отрицателен внутри него. Точка \(-\frac12\) включается, так как числитель равен нулю.

Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup\{-\frac12\}\cup(1;\infty)\).