Задание 3. Решите неравенство: а) −x² + 16x > 28; б) (3x − 1)(x² − 9) ≤ 0; в) (4x² + 4x + 1)/(−3 + x² + 2x) ≥ 0.

а)

Перенесём всё в левую часть и умножим неравенство на \(-1\), изменив знак:

\[-x^2+16x>28,\]

\[x^2-16x+28<0.\]

Найдём корни квадратного трёхчлена:

\[D=(-16)^2-4\cdot1\cdot28=144,\]

\[x_1=\frac{16-12}{2}=2,\qquad x_2=\frac{16+12}{2}=14.\]

Парабола направлена вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями:

\[x\in(2;14).\]

б)

Разложим на множители:

\[(3x-1)(x^2-9)=(3x-1)(x-3)(x+3).\]

Нули произведения: \(x=-3\), \(x=\frac13\), \(x=3\). Расставляя знаки на промежутках, получаем отрицательные значения на \((-;-3)\) и \((\frac13;3)\). Так как неравенство нестрогое, корни включаются:

\[x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac13;3\right].\]

в)

Разложим числитель и знаменатель:

\[4x^2+4x+1=(2x+1)^2,\]

\[-3+x^2+2x=x^2+2x-3=(x+3)(x-1).\]

Получаем:

\[\frac{(2x+1)^2}{(x+3)(x-1)}\ge0.\]

Область допустимых значений: \(x\ne-3\), \(x\ne1\). Числитель неотрицателен и обращается в ноль при \(x=-\frac12\). Знаменатель положителен при \(x<-3\) и \(x>1\), отрицателен при \(-3

Следовательно:

\[x\in(-\infty;-3)\cup\left\{-\frac12\right\}\cup(1;\infty).\]

Ответ: а) \((2;14)\); б) \((-;-3]\cup[\frac13;3]\); в) \((-;-3)\cup\{-\frac12\}\cup(1;\infty)\).