Задание 3*. Решите задачу. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 144. Найдите эти числа.

1. Обозначим меньшее натуральное число через \(n\), тогда следующее число — \(n+1\).
2. По условию разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 144: \((n+n+1)^2-[n^2+(n+1)^2]=144\).
3. Упростим левую часть: \((2n+1)^2-(2n^2+2n+1)=144\), значит \(2n^2+2n=144\).
4. Разделим на 2 и решим уравнение: \(n^2+n-72=0\), \((n+9)(n-8)=0\). Корни: \(n=-9\) и \(n=8\).
5. Так как число натуральное, подходит только \(n=8\). Следующее число равно 9. Проверка: \((8+9)^2-(8^2+9^2)=289-145=144\).

Ответ: 8 и 9.