Задание 3. Сторона DE треугольника DFE лежит в плоскости α, а вершина F — не лежит в этой плоскости. На сторонах FD и FE отметили точки K и M соответственно. При этом FK : KD = 3 : 5, FE : ME = 8 : 5. а) Докажите, что прямая KM и плоскости α параллельны (10 баллов). б) Найдите длину отрезка KM, если DE = 72 см (10 баллов).

а) Из \(FK:KD=3:5\) следует \(FK/FD=3/(3+5)=3/8\). Из \(FE:ME=8:5\) получаем \(FM=FE-ME\), поэтому \(FM/FE=(8-5)/8=3/8\). Следовательно, \(FK/FD=FM/FE\).

По обратной теореме Фалеса в треугольнике FDE прямая KM параллельна DE. Поскольку DE лежит в плоскости α, а KM не лежит в этой плоскости (точки K и M лежат на сторонах треугольника с вершиной F, не принадлежащей α), получаем \(KM\parallel\alpha\).

б) По подобию треугольников FKM и FDE: \(KM/DE=FK/FD=3/8\). Поэтому \(KM=72\cdot3/8=27\) см.

Ответ: а) \(KM\parallel\alpha\); б) 27 см.