Задание 3. Точки A, B, C и D (Рис. 3) не лежат в одной плоскости. Точки P, K и T — середины отрезков AD, BD и CD соответственно. Площадь треугольника PKT равна 12. Найти площадь треугольника ABC.

В треугольнике ADB отрезок PK соединяет середины AD и BD, поэтому \(PK\parallel AB\) и \(PK=\frac{AB}{2}\).

Аналогично, в треугольниках DBC и DAC: \(KT=\frac{BC}{2}\), \(PT=\frac{AC}{2}\). Следовательно, треугольники PKT и ABC подобны с коэффициентом \(\frac12\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{PKT}}{S_{ABC}}=\frac14\). Поэтому \(S_{ABC}=4\cdot12=48\).

Ответ: 48.