Задание 3. Уровень «Повышенный». Решите систему: x + y = 4; x² + 2y² = 19.

Из первого уравнения выразим \(x\):

\(x=4-y\).

Подставим выражение во второе уравнение:

\((4-y)^2+2y^2=19\).

Раскроем скобки:

\(16-8y+y^2+2y^2=19\),

\(3y^2-8y-3=0\).

Найдём корни квадратного уравнения:

\(D=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=64+36=100\).

\(y=\dfrac{8\pm10}{6}\).

1) \(y=\dfrac{8+10}{6}=3\), тогда \(x=4-3=1\).

2) \(y=\dfrac{8-10}{6}=-\dfrac{1}{3}\), тогда \(x=4+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}\).

Ответ: \((x,y)=(1,3)\) и \(\left(\dfrac{13}{3},-\dfrac{1}{3}\right)\).