Задание №3. В параллелограмме KLMN со сторонами LM = 9 и MN = 7 и диагональю KM = 12 диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{MO}\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(O\) — середина диагонали \(LN\) и диагонали \(KM\).

Обозначим положение точки относительно \(L\) вектором \(\overrightarrow{LM}=\mathbf u\), а вектор \(\overrightarrow{LK}=\mathbf v\). Тогда \(\overrightarrow{LO}=\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}\), а \(\overrightarrow{MO}=\frac{\mathbf v-\mathbf u}{2}\).

Складываем: \(\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{MO}=\mathbf v=\overrightarrow{LK}\). Следовательно, длина суммы равна стороне \(LK\). В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(LK=MN=7\).

Ответ: 7.