ЗАДАНИЕ №3. В параллелограмме сторона равна 12, а диагонали равны 24 и 26. Найдите косинус острого угла между диагоналями. cos α =

Для параллелограмма со сторонами \(a,b\) и диагоналями \(d_1,d_2\) выполняется \(d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\).

Пусть одна сторона равна 12, а другая — \(b\). Тогда:

\(24^2+26^2=2(12^2+b^2)\), откуда \(b^2=434\).

Диагонали параллелограмма выражаются через векторы сторон; для косинуса острого угла между диагоналями:

\(\cos\alpha=\dfrac{|a^2-b^2|}{d_1d_2}=\dfrac{|144-434|}{24\cdot26}=\dfrac{290}{624}=\dfrac{145}{312}\).

Ответ: \(\cos\alpha=\dfrac{145}{312}\).