Задание №3. В равностороннем треугольнике со стороной 7 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1. Найдите длину этого отрезка.

Пусть противоположная сторона разделена на части \(14/3\) и \(7/3\). По теореме Стюарта для cevian длины \(d\): \(7^2\cdot\frac{14}{3}+7^2\cdot\frac{7}{3}=7\bigl(d^2+\frac{14}{3}\cdot\frac{7}{3}\bigr)\).

Делим на 7 и упрощаем: \(49=d^2+\frac{98}{9}\), значит \(d^2=\frac{343}{9}\) и \(d=\frac{7\sqrt7}{3}\). При перестановке частей 2 : 1 результат тот же, поскольку сумма произведений в теореме Стюарта не меняется.

Ответ: \(\frac{7\sqrt7}{3}\).