Задание 3. В треугольнике TKP PT = 6√2, TK = 6, ∠K = 45°. Найдите углы T и P треугольника.

По теореме синусов сторона PT лежит напротив угла K, а сторона TK — напротив угла P:

\(\frac{TK}{\sin P} = \frac{PT}{\sin K}.\)

Следовательно, \(\sin P = \frac{TK\cdot\sin K}{PT} = \frac{6\cdot\sin45^\circ}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2}.\)

Возможны два значения угла: \(P=30^\circ\) или \(P=150^\circ\). Оба дают допустимый треугольник, так как при ∠K = 45° сумма углов меньше 180°.

Если \(P=30^\circ\), то \(T=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

Если \(P=150^\circ\), то \(T=180^\circ-45^\circ-150^\circ= -15^\circ\), что невозможно для треугольника. Поэтому остаётся только первый вариант.

Ответ: ∠T = 105°, ∠P = 30°.