Задание 3. Вычислите пределы функции: 1) \(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{3x}\); 2) \(\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{\sin x}\); 3) \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x\).

1. Используем замечательный предел \(\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\): \(\frac{\sin2x}{3x}=\frac23\cdot\frac{\sin2x}{2x}\), поэтому предел равен \(\frac23\).

2. Представляем выражение как \(4\cdot\frac{\sin4x}{4x}\cdot\frac{x}{\sin x}\). При \(x\to0\) оба отношения стремятся к 1, значит предел равен 4.

3. Применяем стандартный предел \(\lim_{x\to\infty}(1+a/x)^x=e^a\) при \(a=3\). Получаем \(e^3\).

Ответ: 1) \(\frac23\); 2) 4; 3) \(e^3\).