Задание 3*. Запишите все целые значения переменных k и m, при которых верно равенство: km = k - m.

Задание 3*

Необходимо найти все целые значения переменных k и m, для которых выполняется равенство: km = k - m.

Пошаговое решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить выражение, равное нулю:
   \( km - k + m = 0 \)
2. Сгруппируем слагаемые для дальнейшей факторизации. Удобно добавить 1 к обеим частям уравнения, чтобы получить возможность вынести общие множители: \( km - k + m + 1 = 1 \)
3. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
   \( (km - k) + (m + 1) = 1 \)
4. Вынесем общий множитель k из первой группы:
   \( k(m - 1) + (m + 1) = 1 \)
5. Чтобы получить множитель \( (m - 1) \) из \( (m + 1) \), можно представить \( m + 1 \) как \( (m - 1) + 2 \):
   \( k(m - 1) + (m - 1) + 2 = 1 \)
6. Перенесём 2 в правую часть:
   \( k(m - 1) + (m - 1) = 1 - 2 \)
   \( k(m - 1) + (m - 1) = -1 \)
7. Теперь вынесем общий множитель \( (m - 1) \):
   \( (m - 1)(k + 1) = -1 \)

Поскольку k и m — целые числа, то и выражения \( (m - 1) \) и \( (k + 1) \) должны быть целыми числами. Произведение двух целых чисел равно -1. Возможны два случая:

Случай 1:

• \( m - 1 = 1 \) и \( k + 1 = -1 \)
• Из первого уравнения: \( m = 1 + 1 = 2 \)
• Из второго уравнения: \( k = -1 - 1 = -2 \)
• Решение: k = -2, m = 2

Случай 2:

• \( m - 1 = -1 \) и \( k + 1 = 1 \)
• Из первого уравнения: \( m = -1 + 1 = 0 \)
• Из второго уравнения: \( k = 1 - 1 = 0 \)
• Решение: k = 0, m = 0

Таким образом, существуют две пары целых значений (k; m), при которых выполняется данное равенство.

Ответ: Целые значения переменных (k; m) удовлетворяющие равенству: (-2; 2) и (0; 0).