ЗАДАНИЕ №3 В прямоугольном треугольнике угол между высотой CH и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из острых углов прямоугольного треугольника ABC.

Давайте решим эту задачу поэтапно. 1. **Понимание основных понятий:** - В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам. - Высота, проведенная из вершины прямого угла, образует прямые углы с противолежащей стороной. - Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам. - Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. 2. **Обозначим углы:** - Пусть угол между высотой CH и медианой CM равен 32°. Обозначим этот угол как ∠HCM = 32°. - Обозначим углы треугольника ABC следующим образом: ∠BAC = α, ∠ABC = β, где ∠ACB = 90°. 3. **Свойства прямоугольного треугольника:** - В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°: α + β = 90°. 4. **Рассмотрим треугольник CMH:** - В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: CM = AM = BM - Треугольник AMC является равнобедренным (CM = AM), следовательно, ∠MAC = ∠MCA = α. - Известно, что ∠HCM = 32°. - Следовательно, ∠ACH = ∠MCA - ∠HCM = α - 32°. 5. **Свойства высоты в треугольнике ACH:** - В треугольнике ACH угол ∠CHA прямой = 90°. - Сумма острых углов ∠CAH и ∠ACH равна 90°: ∠CAH + ∠ACH = 90°. α + (α - 32°) = 90° 2α = 90° + 32° 2α = 122° α = 61° 6. **Найдем угол β:** β = 90° - α = 90° - 61° = 29° 7. **Сравним углы:** У нас есть два острых угла: α = 61° и β = 29°. Меньший из них - β = 29°. **Ответ:** Меньший из острых углов прямоугольного треугольника ABC равен 29 градусов.