Задание № 4. (7 балл) В параллелограмме ABCD проведена биссектриса DN, CD = 14 см, BN = 7 см. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке N. Так как AB параллельна CD, а BN лежит на BC, получаем \(\angle BND=\angle CDN\). Поскольку DN — биссектриса угла CDA, \(\angle CDN=\angle NDA\). Кроме того, AB параллельна CD, поэтому \(\angle NDA=\angle NDB\)? Чтобы применить равенство треугольников, заметим напрямую: из параллельности AB и CD следует, что угол между DN и NB равен углу между DN и DC; биссектриса даёт равенство этого угла углу между DA и DN. Следовательно, в треугольнике BDN углы при N и D равны, значит, \(BN=BD\) — это не следует: угол при D здесь между DB и DN, а не DA и DN. Используем стандартное соотношение через подобие/направления.

Обозначим \(AD=BC=x\). В треугольнике DNC по параллельности \(NC\parallel DA\): угол между DN и NC равен углу между DN и DA, а он равен углу между DN и DC (биссектриса). Поэтому в треугольнике DNC углы при N и D равны, откуда \(NC=DC=14\) см.

Тогда \(BC=BN+NC=7+14=21\) см, а противоположные стороны параллелограмма равны: \(AD=BC=21\) см и \(AB=CD=14\) см.

Периметр: \(P=2(AD+CD)=2(21+14)=70\) см.

Ответ: 70 см.