Задание №4. Дан параллелограмм MNCD, площадь которого равна 2. Через середину K стороны NC и вершину D проведена прямая, пересекающая диагональ MC в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OKNM.

Введём аффинные координаты: \(M=(0,0)\), \(N=(1,0)\), \(D=(0,1)\), поэтому \(C=(1,1)\). Площадь параллелограмма в этих координатах равна 1, а фактическая площадь равна 2. Так как K — середина NC, \(K=(1, frac12)\).

Точка O лежит на диагонали MC, поэтому её координаты имеют вид \((t,t)\). Прямая DK задаётся точками \((0,1)\) и \((1, frac12)\). На ней координаты связаны равенством \(y=1- \frac{x}{2}\). Для O получаем \(t=1- \frac{t}{2}\), откуда \(t= frac23\). Значит, \(O=( frac23, frac23)\).

По формуле площади многоугольника для вершин O, K, N, M площадь OKNM в координатах равна \( \frac{5}{12}\) площади параллелограмма. Поэтому

\(S_{OKNM}= \frac{5}{12}\cdot 2= frac56\).

Ответ: \( frac56\).