Задание 4. Докажите, что при любом целом n значение выражения (2n + 1)³ − (2n − 1)³ делится на 8.

Утверждение неверно: достаточно проверить значение при целом \(n=0\).

\((2\cdot0+1)^3-(2\cdot0-1)^3=1^3-(-1)^3=2\). Число 2 на 8 не делится.

В общем виде, по формуле разности кубов:

\((2n+1)^3-(2n-1)^3=2((2n+1)^2+(2n+1)(2n-1)+(2n-1)^2)=24n^2+2\).

Это выражение при любом целом \(n\) сравнимо с 2 по модулю 8, а значит, на 8 не делится.

Ответ: доказать утверждение нельзя: оно неверно; например, при \(n=0\) значение выражения равно 2.