Задание 4. Докажите неравенство: 1) \(x+8x+20>0\); 2) \(5a+20a>-25\); 3) \(6c+10c+8>-3c+4c+6\); 4) \((\sqrt{x}-1)^2<2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)+12\).

Первые три неравенства не являются верными при всех значениях переменных: в условии не указаны ограничения. Их можно преобразовать и определить, при каких значениях они выполняются.

1. \(x+8x+20>0\iff 9x+20>0\iff x>-\frac{20}{9}\). Например, при \(x=-3\) неравенство неверно.

2. \(5a+20a>-25\iff25a>-25\iff a>-1\). Например, при \(a=-2\) неравенство неверно.

3. \(6c+10c+8>-3c+4c+6\iff16c+8>c+6\iff15c>-2\iff c>-\frac{2}{15}\). Например, при \(c=-1\) неравенство неверно.

4. Здесь необходимо \(x\ge0\). Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge0\). Вычтем левую часть из правой:

   \(2t(t+2)+12-(t-1)^2=2t^2+4t+12-(t^2-2t+1)=t^2+6t+11\).

   При \(t\ge0\) имеем \(t^2+6t+11>0\), поэтому левая часть строго меньше правой.

Ответ: 1) верно при \(x>-\frac{20}{9}\); 2) при \(a>-1\); 3) при \(c>-\frac{2}{15}\); 4) верно для всех \(x\ge0\). Без ограничений первые три неравенства доказать нельзя.