ЗАДАНИЕ №4. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите величину угла BAC, если известно, что ∠ACB = 57° и AC = 3BM.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(BM=\dfrac{2}{3}BB_1\), откуда \(BB_1=\dfrac{3}{2}BM\).

По условию \(AC=3BM\), значит \(AC=2BB_1\). Обозначим \(AC=b\), \(BC=a\), \(AB=c\), а длину медианы \(BB_1\) — \(m\). Тогда \(b=2m\).

По формуле медианы: \(m^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\). Подставим \(b=2m\): \(m^2=\dfrac{2a^2+2c^2-4m^2}{4}\), откуда \(a^2+c^2=8m^2=2b^2\). Это равенство само по себе не доказывает, что угол B прямой; проверим условие иначе.

Пусть \(BM=t\), тогда \(AC=3t\), а медиана \(BB_1=\dfrac32t\). По формуле медианы получаем \(AB^2+BC^2=\dfrac{AC^2+4BB_1^2}{2}=\dfrac{9t^2+9t^2}{2}=9t^2=AC^2\). Следовательно, по обратной теореме Пифагора \(\angle ABC=90^\circ\).

Сумма углов треугольника равна 180°: \(\angle BAC=180^\circ-90^\circ-57^\circ=33^\circ\).

Ответ: 33°.