Задание 4. Найдите корни уравнений: 1) $\log_2(x^2-14x)=5$; 2) $6\log_8^2 x-5\log_8 x+1=0$; 3) $\log_2x=5$; 4) $\log_2(3-x)=5$; 5) $\log_2(x^2+2x+3)=\log_2 6$; 6) $\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Найдите корни уравнений: 1) $\log_2(x^2-14x)=5$; 2) $6\log_8^2 x-5\log_8 x+1=0$; 3) $\log_2x=5$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

По определению логарифма: $x^2-14x=2^5=32$. Тогда $x^2-14x-32=0$, откуда $x=16$ или $x=-2$. При обоих значениях аргумент равен 32 и положителен.
Пусть $t=\log_8x$, где $x>0$. Получаем $6t^2-5t+1=0$, то есть $(3t-1)(2t-1)=0$. Поэтому $t=\frac13$ или $t=\frac12$. Следовательно, $x=8^{1/3}=2$ или $x=8^{1/2}=2\sqrt2$.
По определению логарифма: $x=2^5=32$.
По определению логарифма: $3-x=2^5=32$, поэтому $x=-29$. Аргумент при этом равен 32 и положителен.
Поскольку основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы: $x^2+2x+3=6$. Получаем $x^2+2x-3=0$, откуда $(x-1)(x+3)=0$. Оба корня допустимы: аргумент равен 6.
Область определения: $x>-1$. Объединяем логарифмы: $\log_3((x+1)(x+3))=1$. Тогда $(x+1)(x+3)=3$, откуда $x^2+4x=0$ и $x=0$ или $x=-4$. Условию области определения соответствует только $x=0$.

Ответ: 1) $-2; 16$; 2) $2; 2\sqrt2$; 3) $32$; 4) $-29$; 5) $-3; 1$; 6) $0$.

Задание 4. Найдите корни уравнений: 1) \(\log_2(x^2-14x)=5\); 2) \(6\log_8^2 x-5\log_8 x+1=0\); 3) \(\log_2x=5\); 4) \(\log_2(3-x)=5\); 5) \(\log_2(x^2+2x+3)=\log_2 6\); 6) \(\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1\).