Задание 4 (Повышенный уровень): Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1000°? Ответ обоснуйте.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника имеет вид \(S=(n-2)\cdot180^\circ\), где \(n\) — целое число, причём \(n\ge3\).

Если сумма равна \(1000^\circ\), то \[(n-2)\cdot180^\circ=1000^\circ,\qquad n-2=\frac{1000}{180}=\frac{50}{9}.\]

Число \(n=2+\frac{50}{9}=\frac{68}{9}\) не является целым, поэтому такого числа сторон быть не может.

Ответ: нет, такого выпуклого многоугольника не существует.