Задание 4. Решить логарифмические уравнения: a) \(\log_5(3x - 4) = 2\) б) \(\log_3(2x^2 + x) = 1\) в) \(\log_2(1 - x) + \log_2(3 - x) = 3\) г) \((\log_{10} x)^2 - 3\log_{10} x + 2 = 0\)

Решение:

а) \(\log_5(3x - 4) = 2\)

1. ОДЗ: \(3x - 4 > 0
   arrow 3x > 4
   arrow x > \frac{4}{3}\)
2. По определению логарифма: \(3x - 4 = 5^2\)
3. \(3x - 4 = 25\)
4. \(3x = 29\)
5. \(x = \frac{29}{3}\)
6. Проверка ОДЗ: \(\frac{29}{3} = 9\frac{2}{3} > \frac{4}{3}\). Ответ подходит.

б) \(\log_3(2x^2 + x) = 1\)

1. ОДЗ: \(2x^2 + x > 0
   arrow x(2x + 1) > 0
   arrow x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; \infty)\)
2. По определению логарифма: \(2x^2 + x = 3^1\)
3. \(2x^2 + x = 3\)
4. \(2x^2 + x - 3 = 0\)
5. Найдём дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\)
6. Найдём корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
7. \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\)
8. Проверка ОДЗ: \(1 > 0\) (подходит). \(-\frac{3}{2} = -1.5 < -0.5\) (подходит).

в) \(\log_2(1 - x) + \log_2(3 - x) = 3\)

1. ОДЗ: \(1 - x > 0
   arrow x < 1\) и \(3 - x > 0
   arrow x < 3\). Общая ОДЗ: \(x < 1\).
2. Используем свойство логарифмов \(\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)\):
3. \(\log_2((1 - x)(3 - x)) = 3\)
4. \(\log_2(3 - x - 3x + x^2) = 3\)
5. \(\log_2(x^2 - 4x + 3) = 3\)
6. По определению логарифма: \(x^2 - 4x + 3 = 2^3\)
7. \(x^2 - 4x + 3 = 8\)
8. \(x^2 - 4x - 5 = 0\)
9. Найдём дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)
10. Найдём корни: \(x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
11. \(x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
12. Проверка ОДЗ: \(5\) не удовлетворяет \(x < 1\) (посторонний корень). \(-1 < 1\) (подходит).

г) \((\log_{10} x)^2 - 3\log_{10} x + 2 = 0\)

1. ОДЗ: \(x > 0\).
2. Сделаем замену переменной: пусть \(t = \log_{10} x\).
3. Получим квадратное уравнение: \(t^2 - 3t + 2 = 0\).
4. Найдём дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\).
5. Найдём корни для \(t\):
6. \(t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\)
7. \(t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\)
8. Сделаем обратную замену:
• \(\log_{10} x = 2
  arrow x = 10^2 = 100\)
• \(\log_{10} x = 1
  arrow x = 10^1 = 10\)
9. Проверка ОДЗ: \(100 > 0\) и \(10 > 0\) (оба корня подходят).

Ответ: а) \(\frac{29}{3}\); б) \(1; -\frac{3}{2}\); в) \(-1\); г) \(10; 100\).