Задание 6. Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М: a) \(6x^6 - \frac{2}{x^2}\) т. М (-1; 2) б) \(8x + 12\), т. М (4; -3)

Решение:

а) \(f(x) = 6x^6 - \frac{2}{x^2} = 6x^6 - 2x^{-2}\)

1. Найдём общую первообразную:
2. \(F(x) = 6 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} - 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C\)
3. \(F(x) = 6 \cdot \frac{x^7}{7} - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C\)
4. \(F(x) = \frac{6}{7}x^7 + 2x^{-1} + C = \frac{6}{7}x^7 + \frac{2}{x} + C\)
5. Подставим координаты точки М(-1; 2) в уравнение первообразной, чтобы найти C:
6. \(2 = \frac{6}{7}(-1)^7 + \frac{2}{-1} + C\)
7. \(2 = \frac{6}{7}(-1) - 2 + C\)
8. \(2 = -\frac{6}{7} - 2 + C\)
9. \(2 + 2 + \frac{6}{7} = C\)
10. \(4 + \frac{6}{7} = C\)
11. \(C = \frac{28 + 6}{7} = \frac{34}{7}\)
12. Запишем частную первообразную: \(F(x) = \frac{6}{7}x^7 + \frac{2}{x} + \frac{34}{7}\)

б) \(f(x) = 8x + 12\)

1. Найдём общую первообразную:
2. \(F(x) = 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 12x + C\)
3. \(F(x) = 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 12x + C\)
4. \(F(x) = 4x^2 + 12x + C\)
5. Подставим координаты точки М(4; -3) в уравнение первообразной, чтобы найти C:
6. \(-3 = 4(4)^2 + 12(4) + C\)
7. \(-3 = 4(16) + 48 + C\)
8. \(-3 = 64 + 48 + C\)
9. \(-3 = 112 + C\)
10. \(C = -3 - 112\)
11. \(C = -115\)
12. Запишем частную первообразную: \(F(x) = 4x^2 + 12x - 115\)

Ответ: а) \(F(x) = \frac{6}{7}x^7 + \frac{2}{x} + \frac{34}{7}\); б) \(F(x) = 4x^2 + 12x - 115\).