Задание 5. Найти все первообразные функции: a) \(6x^5 - 8x + 4\) б) \(\frac{5}{x^3} + \frac{4}{x}\) в) \(5 \cos x - 2 \sin x\) г) \(\frac{1}{x^2} + 3e^x + 6 \sin x\) д) \(-\frac{4}{x} + 6\sqrt[3]{x} + 1\)

Решение:

Используем правила нахождения первообразных: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (при \(n \neq -1\)), \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\), \(\int \cos x dx = \sin x + C\), \(\int \sin x dx = -\cos x + C\), \(\int e^x dx = e^x + C\).

а) \(f(x) = 6x^5 - 8x + 4\)

\(F(x) = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 4x + C\)

\(F(x) = 6 \cdot \frac{x^6}{6} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C\)

\(F(x) = x^6 - 4x^2 + 4x + C\)

б) \(f(x) = \frac{5}{x^3} + \frac{4}{x} = 5x^{-3} + 4x^{-1}\)

\(F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 4 \ln|x| + C\)

\(F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 4 \ln|x| + C\)

\(F(x) = -\frac{5}{2}x^{-2} + 4 \ln|x| + C = -\frac{5}{2x^2} + 4 \ln|x| + C\)

в) \(f(x) = 5 \cos x - 2 \sin x\)

\(F(x) = 5 \sin x - 2(-\cos x) + C\)

\(F(x) = 5 \sin x + 2\cos x + C\)

г) \(f(x) = \frac{1}{x^2} + 3e^x + 6 \sin x = x^{-2} + 3e^x + 6 \sin x\)

\(F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 3e^x + 6(-\cos x) + C\)

\(F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + 3e^x - 6\cos x + C\)

\(F(x) = -x^{-1} + 3e^x - 6\cos x + C = -\frac{1}{x} + 3e^x - 6\cos x + C\)

д) \(f(x) = -\frac{4}{x} + 6\sqrt[3]{x} + 1 = -4x^{-1} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1\)

\(F(x) = -4 \ln|x| + 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + x + C\)

\(F(x) = -4 \ln|x| + 6 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + x + C\)

\(F(x) = -4 \ln|x| + 6 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x + C\)

\(F(x) = -4 \ln|x| + \frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} + x + C\)

Ответ: а) \(x^6 - 4x^2 + 4x + C\); б) \(-\frac{5}{2x^2} + 4 \ln|x| + C\); в) \(5 \sin x + 2\cos x + C\); г) \(-\frac{1}{x} + 3e^x - 6\cos x + C\); д) \(-4 \ln|x| + \frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} + x + C\).