Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задание 4. Решить неравенства: 1) \((1/4)^x\ge2\); 2) \(4^{2x-1}>1/2\); 3) \(64^x-4+8^x+4\ge0\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. \((1/4)^x=4^{-x}\), поэтому \(4^{-x}\ge4^{1/2}\). Основание больше 1, значит \(-x\ge1/2\), откуда \(x\le-1/2\).
  2. Представим обе части как степени числа 2: \(2^{4x-2}>2^{-1}\). Следовательно, \(4x-2>-1\), то есть \(x>1/4\).
  3. \(64^x-4+8^x+4=64^x+8^x\). Обе степени положительны при любом действительном \(x\), поэтому неравенство верно для всех \(x\in\mathbb R\).
  4. Положим \(t=(1/2)^x>0\). Тогда \((1/4)^x=t^2\), и получаем \(t^2-9t+8\ge0\), то есть \((t-1)(t-8)\ge0\). Значит, \(0<t\le1\) или \(t\ge8\). Так как \((1/2)^x\) убывает, это равносильно \(x\ge0\) или \(x\le-3\).

Ответ: 1) \(x\le-1/2\); 2) \(x>1/4\); 3) \(x\in\mathbb R\); 4) \(x\le-3\) или \(x\ge0\).