Задание №4. Решите треугольник ABC, если известно, что AB = 6, BC = 4, ∠A = 30°. Значения синусов и косинусов, взятых из таблицы Брадиса, округлите до сотых, значения углов — до целых, значения сторон треугольника — до десятых.

Обозначим \(a=BC=4\), \(c=AB=6\), \(A=30°\), \(b=AC\). По теореме синусов:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\), поэтому \(\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{6\cdot0.50}{4}=0.75\).

Поскольку синус положителен в I и II четвертях, возможны два значения: \(C_1\approx48.59°\) или \(C_2\approx131.41°\). Следовательно, имеются два треугольника.

Первый треугольник. \(C_1\approx48.59°\), поэтому \(B_1=180°-30°-48.59°\approx101.41°\). По теореме синусов \(b_1=\frac{a\sin B_1}{\sin A}\). Используя \(\cos C_1\approx0.66\), получаем \(\sin B_1=\sin(150°-C_1)\approx0.5\cdot0.66+0.87\cdot0.75\approx0.98\). Тогда \(b_1\approx\frac{4\cdot0.98}{0.50}=7.84\approx7.8\).

Второй треугольник. \(C_2\approx131.41°\), поэтому \(B_2=180°-30°-131.41°\approx18.59°\). Здесь \(\cos C_2\approx-0.66\), значит \(\sin B_2=\sin(150°-C_2)\approx0.5\cdot(-0.66)+0.87\cdot0.75\approx0.32\). Тогда \(b_2\approx\frac{4\cdot0.32}{0.50}=2.56\approx2.6\).

Ответ: два решения. Углы и стороны: \(A=30°\), \(B_1\approx101°\), \(C_1\approx49°\), \(AB=6.0\), \(BC=4.0\), \(AC\approx7.8\); либо \(A=30°\), \(B_2\approx19°\), \(C_2\approx131°\), \(AB=6.0\), \(BC=4.0\), \(AC\approx2.6\).